Rozważmy teraz siłę będącą funkcją położenia \( F(x), \) której kierunek jest zgodny z osią \( x. \) Szukamy pracy jaką wykona ta siła przy przesuwaniu ciała od położenia \( x_1 \) do położenia \( x_2. \) Wzór \( W={\bf F}\cdot {\bf s} \) pozwala obliczyć pracę dla stałej siły \( {\bf F}. \) Natomiast gdy wartość siły zmienia się, na przykład tak jak na Rys. 1, Rys. 2 oraz Rys. 3 (linia ciągła), trzeba stosować inny algorytm.

Zacznijmy od zastosowania przybliżenia. Dzielimy całkowite przemieszczenie \( x \) na \( n \) jednakowych odcinków \( \Delta x \) tak, jak na Rys. 1. Wewnątrz takiego przedziału \( \Delta x \) przyjmujemy (i to jest to przybliżenie), że siła jest stała i możemy już teraz skorzystać ze wzoru ( 1 ) do obliczenia pracy w dowolnym przedziale \( \Delta x \)

gdzie \( F_i \) jest wartością siły na \( i \)-tym odcinku \( \Delta x \). Następnie sumujemy prace wykonane na poszczególnych odcinkach, otrzymując całkowitą pracę

Zwróćmy uwagę, że od strony czysto formalnej liczenie pracy jest równoważne liczeniu sumy powierzchni kolejnych prostokątów o podstawie \( \Delta x \) i wysokości \( F_i. \)

Możemy "poprawić" nasze przybliżenie. W tym celu, w kolejnym kroku dzielimy przedział ( \( x_1 \), \( x_2 \)) na więcej (mniejszych) odcinków \( \Delta x \), tak jak pokazano na Rys. 2. Widać, że nowe przybliżenie jest lepsze. Wartości sił \( F_i \) dla poszczególnych przedziałów są znacznie bliższe rzeczywistej funkcji \( F(x) \), a co za tym idzie obliczona (wzór ( 2 ) ) wartość pracy całkowitej jest bliższa wartości rzeczywistej (pola powierzchni prostokątów bardziej pokrywają się z polem pod krzywą).

Widać, że rozwiązaniem problemu jest przejście (w granicy) \( \Delta x \rightarrow 0 \). Stosujemy tę samą procedurę, obliczając całkowitą pracę.

W taki sposób w matematyce definiujemy całkę. Całkowanie funkcji \( F(x) \) w zadanych granicach odpowiada liczeniu pola powierzchni pod krzywą \( F(x) \) w zadanym przedziale (zob. Rys. 3 ). Ta procedura odpowiada też z definicji liczeniu wartości średniej \( {W=\overset{{\text{__}}}{{F}}(x_{{2}}-x_{{1}})} \), co zgadza się z intuicyjnym podejściem.

Żeby obliczyć pracę wykonaną przez zmienną siłę trzeba albo umieć obliczyć całkę (ewentualnie poszukać rozwiązania w tablicach), albo umieć obliczyć pole powierzchni pod krzywą, co w szczególnych przypadkach nie jest trudne.

Przykład 1: Sprężyna

Rozważmy sprężynę zamocowaną jednym końcem i rozciąganą siłą \( F \) tak, że jej drugi koniec przemieszcza się o \( x \). Siła wywierana przez sprężynę \( {\bf F}_s= - k\bf x \) jest siłą przywracającą równowagę. Aby rozciągnąć sprężynę musimy zatem przyłożyć siłę równą co do wartości lecz przeciwnie skierowaną, tzn. \( {\bf F}=k\bf x. \)

Rysunek 4: Rozciąganie sprężyny siłą \( F \)

Znamy już postać funkcji \( F(x) \) i możemy teraz, korzystając z równania ( 3 ), obliczyć pracę wykonaną przy rozciąganiu sprężyny.

(4)

\( W=\overset{{x}}{\underset{{0}}{\int}}{F(x)\mathit{dx}=\overset{{x}}{\underset{{0}}{\int}}{(kx)\mathit{dx}=\left.\frac{kx^{{2}}}{2}\right|_0^x=\frac{kx^{{2}}}{2}}} \)

Zadanie 1: Pole pod wykresem

Treść zadania:

Sprawdź, czy uzyskana powyższa wartość jest poprawna. W tym celu oblicz bezpośrednio pole pod wykresem funkcji \( F(x) \). Wynik obliczeń porównaj z wynikiem całkowania.

\( S = \)

Rozwiązanie:

Dane: \( F(x)=kx \)

Wykres funkcji \( F(x)=kx \) jest pokazany na rysunku poniżej.

Rysunek 5: Zależność siły sprężystości od rozciągnięcia \( x \) sprężyny

Pole pod wykresem jest polem trójkąta o podstawie \( x \) i wysokości \( F(x) \) i wynosi

(5)

\( \begin{matrix}{S=W=\frac{1}{2}xF(x)}\\{S=\frac{1}{2}kx^{{2}}}\end{matrix} \)

Otrzymana wartość jest identyczna z tą daną równaniem ( 4 ).

Na tym samym rysunku pokazany jest również wykres \( F_s(x) \). Zwróć uwagę, że dodatnia praca wykonana przez siłę \( F \) (człowieka) jest równa co do wartości ujemnej pracy wykonanej przez sprężynę.